Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, welche grundlegenden Tatsachen in fast allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle spielen, rund um unseren Globus sind die Anfangervorlesungendaher sehr ahnlich strukturiert. Insbeson- ¨ ¨ dere gibt es Standards fur die Analysis: Von allen Mathematikern dieser Welt ¨ wird die Kenntnis der wichtigsten Ideen rund um Limites, Di'erentiation und Integrationvorausgesetzt.AufdieThemen,dieinBand1nochnichtbesprochen wurden, wird hier in vier Kapiteln eingegangen werden. Der Inhalt des vorl- genden zweiten Bandes der Analysis kann wie folgt zusammengefasst werden. Zun¨ achst behandeln wir in Kapitel 5 noch einmal Funktionen. Diesmal geht es aber nicht darum, einzelne Funktionen zu de'nieren oder zu untersuchen. Es soll vielmehr prazisiert werden, was es bedeuten konnte, dass eine Funktionen- ¨ ¨ folge gegen eine Funktion konvergiert. Es gibt dafur eine Reihe von sinnvollen ¨ M¨ oglichkeiten,wir kummer ¨ n uns haupts¨ achlichum punktweise Konvergenz und gleichm¨ aßige Konvergenz.

In den Anwendungen wird dabei h¨ au'g die Frage wichtig, welche analytischen Eigenschaften dabei erhalten bleiben. Wir werden (unteranderem)beweisen,dassgleichmaßigeLimitesstetigerFunktionenwieder ¨ stetig sind. Gleichm¨ aßigeKonvergenzkannalsKonvergenzineinemgeeignetennormi- ten Raum interpretiert werden, dabei ergibt sich im Fall stetiger Funktionen sogar ein vollst¨ andiger Raum. Da die Tragweite von Kompaktheitsschlussen ¨ schon in Band 1 hinreichend deutlich geworden sein sollte, ist die Frage nahe liegend, wie man kompakte Teilmengen derartiger Funktionenrau ¨ me charak- risieren kann. Das ist auf ub ¨ erraschend einfache Weise m¨ oglich: Der Satz von ' Arzela-Ascoli besagt, dass die Charakterisierung beinahe genauso ist wie im endlich-dimensionalen Fall.